EL TRIANGULO

—Un triángulo es una superficie  plana trilateral:

     > Tres ángulos

    >  Tres lados

    > Tres vértices

Es el polígono con menos lados.

Para nombrarlo se usan tres letras en sus vértices o una cifra romana en su interior.

Se emplean letras minúsculas para designar los lados.

CLASIFICACIÓN DE LOS TRIÁNGULOS:

—SEGÚN SUS LADOS:

Triángulo escaleno: todos sus lados son desiguales.

Triángulo isósceles: tiene dos lados iguales y uno desigual.

Triángulo equilátero: tiene los tres lados iguales.

SEGÚN SUS ÁNGULOS:

Tiene un ángulo recto .

Triángulo rectángulo: El lado opuesto a este es la hipotenusa. Los lados perpendiculares reciben el nombre de  catetos.

Triángulo acutángulo: 

 tiene los tres ángulos agudos, menores de 90°.

Triángulo obtusángulo: 

tiene un ángulo obtuso, mayor de  90°.

"Los triángulos acutángulo y obtusángulo también son llamados oblicuángulos."

Rectas y puntos notables del triangulo.

Mediana: Segmento trazado desde un vértice hasta el punto medio del lado opuesto.

Baricentro: Centro de gravedad del triangulo donde se cortan  las medianas.

Mediatriz: Perpendicular trazada en el punto medio  del lado opuesto.  

Circuncentro: Punto de intersección  de las mediatrices.

Bisectriz: Recta que parte del vértice de un ángulo dividiendo a este en dos  exactamente iguales.

Incentro: Punto donde se  interceptan las bisectrices.  

Altura: Perpendicular trazada desde un vértice al lado apuesto o su prolongación. 

Ortocentro:  Punto donde se cortan las alturas.

Propiedades de los triángulos:

1.- La altura correspondiente a la base de un triangulo isósceles es también la mediana, mediatriz y bisectriz.

2.- En dos triángulos congruentes, a ángulos congruentes se oponen lados congruentes y viceversa. Estos lados y ángulos se llaman homólogos.

3.- Un lado es menor que la suma de los otros dos y mayor que su diferencia.

4.- A mayor lado se opone mayor ángulo.

5.- En dos triángulos  que tienen dos lados congruentes, y no congruente al ángulo comprendido,  mayor ángulo se opone mayor lado. 

TEOREMAS:

I.- La suma de los ángulos interiores de todo triángulos es igual a dos ángulos rectos, es decir 180° .

II.- La suma de los dos ángulos agudos de un  triángulo

rectángulo es igual a un ángulo recto. 

III.- La suma de los tres ángulos exteriores o externos de todo triángulo  es igual a cuatro ángulos rectos = 360°.

IV.- Un ángulo externo de un triangulo es igual a la suma de los dos ángulos  internos que no le son adyacentes.

CONGRUENCIA:

LOS TRIANGULOS SON CONGRUETNES CUANDO TIENEN IGUAL FORMA Y TAMAÑO. SUS ANGULOS Y  LADOS CORRESPONDIENTES SON IGUALES.

EL SIMBOLO  @  SE LEE     "CONGRUENTE".

CASOS DE CONGRUENCIA:   

1.- LAL @  LAL  (lado, ángulo, lado):   si un triángulo tiene  dos lados y el ángulo comprendido congruentes a los elementos correspondientes  de otro entonces los dos triángulos son  congruentes.

2.- ALA @  ALA  (ángulo, lado, ángulo):   dos triángulos con dos ángulos congruentes adyacentes  a un lado congruente, son congruentes. 

2.- LLL @  LLL  (lado, lado, lado): si dos triángulos tienen  sus tres lados respectivamente congruentes, entonces son congruentes.

RAZONES Y PROPORCIONES :

—La razón de un numero a otro es el cociente indicado del primero entre el segundo.

La razón de 3 a 5 es    3                  

                                    5

El numerador de la razón es el antecedente y el denominador es el consecuente:

En la razón  3

                     4

3  Es el antecedente y el 4 el consecuente.

La igualdad de dos razones  es una proporción: 

       

La proporción se escribe

a      c

      b  = d     ;

o  a : b = c : d, se lee:  a es b, como c es a d

Propiedades de las proporciones:

1.En toda proporción el producto de los medios es igual al producto de los extremos.       

●

2.Una proporción se puede transformar en otra invirtiendo los términos de cada razón.

●

3.En toda proporción un extremo cualquiera es igual al producto de los medios entre el extremo conocido.

●

4.En toda proporción un medio es igual al producto de los extremos entre el medio conocido.

●

5.La media proporcional, aplicando el principio 4, será igual a la raíz cuadrada del producto de los extremos.

Principios:

I.Si una recta es paralela  a uno de los lados  de un triangulo, entonces los otros dos lados quedan  divididos  en segmentos proporcionales.

II.Dos transversales cualesquiera cortadas por tres o mas paralelas quedan divididas en segmentos proporcionales.

III.La bisectriz  de un ángulo de un triángulo divide al lado en dos segmentos proporcionales a los lados adyacentes a ese ángulo .

SEMEJANZA:

Se denominan polígonos semejantes  los que tienen  sus ángulos correspondientes congruentes y sus lados homólogos proporcionales.

Los polígonos semejantes tienen la misma forma aunque no tengan el mismo tamaño.

Para indicar ser semejante  se utiliza el símbolo  ~

Razón de semejanza :

Es la razón de los dos lados homólogos.

Teorema básico de la proporcionalidad:

“toda recta paralela a uno de los lados de un triangulo, determina un triangulo  semejante al dado.”

Casos de semejanza:L 

Dos triángulos son semejantes

•si tienen dos ángulos respectivamente congruentes.

•si tienen dos lados proporcionales y congruente el ángulo comprendido.

•Si tienen sus tres lados proporcionales.