ejercicios (teorema de pitagoras)

Dados los valores siguientes  de los catetos, calcular la hipotenusa:

a	b	c
3	4	= Ö(3)² +  (4) ²  =  5
5	12	= Ö(5)² +  (12)² = 13
25	18	= Ö(25)² + (18)²  = 30.8
3.5	2.4	= Ö(3.5)²  + (2.4)²  = 4.243

 

Dados los valores de la hipotenusa

a	c	b
15	17	= Ö(15)²  - (17)²  = 8
40	41	= Ö(40)²  - (41)²  = 9
7	25	= Ö(7)²  - (25)²  = 24
20	29	= Ö(20)² - (29)²  = .21
17	26	= Ö(17)²  - (26)²  = 19.76
7.5	11.6	= Ö(7.5)²  - (11.6)²  = 8.84

Calcular la altura de un triángulo isósceles, si su base mide 60cm y cada uno de los lados iguales mide 50cm.

 Ö(50cm)²  + (60cm)²  = Ö2500cm + 3600cm = Ö6100cm = 78.102cm

Calcular la altura de un triángulo equilátero que mide 10 m por lado.

 Ö(10m)² - (5m)²  = Ö100m + 25m = Ö75m = 8.66m

Cuánto mide  el lado de un cuadrado cuya diagonal mide 8m.

 (c)²  = (a)²  + (b)²

(8m)² =  (a)²  + (b)²

64m  = a  +  b

                                                                          2        

Ö32 = 5.66m

Cuánto mide la diagonal de un cuadrado de 5m por lado.

 Ö(5m)² + (5m)²  = Ö25m + 25m = Ö50m = 7.07m

Cuánto  mide la diagonal de un rectángulo  de 28m de largo y 21m de ancho.

 Ö(28m)² + (12m)²  = Ö784m + 441m = Ö1225m = 35m

A qué altura llega una escalera de 10m de largo en un muro vertical si su pie esta a 3m del muro.

Ö(10m)² - (3m)²  = Ö100m - 9m = Ö91m = 9.53m

Si el lado de un hexágono  regular mide 16cm. ¿Cuánto mide su apotema?

Ö(16cm)² - (8cm)²  = Ö256cm - 64cm = Ö192cm = 13.856cm

Un terreno rectangular de 4000m de largo por  3000m de ancho tiene en medio una colina que no permite una medición directa. ¿Cuál es la longitud  de la diagonal?

 Ö(4 000m)² + (3 000m)²  = Ö16 000 000m + 9 000 000m = Ö25 000 000m = 5 000m

Para sostener la antena de una estación de radio de 72m de altura se desea poner tirantes de 120m para darle  mayor estabilidad; si se proyecta tender los tirantes desde la parte más alta de la torre.¿a que distancia del pie de esta deben construirse las bases?

Ö(120m)² - (72m)²  = Ö14 400m - 5 184m = Ö9 216m = 96m

Las tres bases a que se sujetan los cables que sirven para la estabilidad de la torre de una antena están situados a 36m del pie de la misma. Calcular la longitud de los cables si estos se fijan a la torre a 48m de altura.

Ö(48m)² - (36m)²  = Ö2 304m - 1 296m = Ö3 600m = 60m

De los problemas siguientes hallar la longitud del segmento x marcado en la figura correspondiente:

X²= (15)² + (8)²

X = Ö 225 + 64

X = Ö 289

X = 17

X²= (15)² - (9)²

X = Ö 225 - 81

X = Ö 144

X = 12

X²= (10)² - (6)²

X = Ö 100 - 36

X = Ö 64

X = 8

X²= (12)² + (5)²

X = Ö 144 + 25

X = Ö 169

X = 13

X²= (17)² + (8)²

X = Ö 289 + 64

X = Ö 353

X = 18.78

EL TRIANGULO

—Un triángulo es una superficie  plana trilateral:

     > Tres ángulos

    >  Tres lados

    > Tres vértices

Es el polígono con menos lados.

Para nombrarlo se usan tres letras en sus vértices o una cifra romana en su interior.

Se emplean letras minúsculas para designar los lados.

CLASIFICACIÓN DE LOS TRIÁNGULOS:

—SEGÚN SUS LADOS:

Triángulo escaleno: todos sus lados son desiguales.

Triángulo isósceles: tiene dos lados iguales y uno desigual.

Triángulo equilátero: tiene los tres lados iguales.

SEGÚN SUS ÁNGULOS:

Tiene un ángulo recto .

Triángulo rectángulo: El lado opuesto a este es la hipotenusa. Los lados perpendiculares reciben el nombre de  catetos.

Triángulo acutángulo: 

 tiene los tres ángulos agudos, menores de 90°.

Triángulo obtusángulo: 

tiene un ángulo obtuso, mayor de  90°.

"Los triángulos acutángulo y obtusángulo también son llamados oblicuángulos."

Rectas y puntos notables del triangulo.

Mediana: Segmento trazado desde un vértice hasta el punto medio del lado opuesto.

Baricentro: Centro de gravedad del triangulo donde se cortan  las medianas.

Mediatriz: Perpendicular trazada en el punto medio  del lado opuesto.  

Circuncentro: Punto de intersección  de las mediatrices.

Bisectriz: Recta que parte del vértice de un ángulo dividiendo a este en dos  exactamente iguales.

Incentro: Punto donde se  interceptan las bisectrices.  

Altura: Perpendicular trazada desde un vértice al lado apuesto o su prolongación. 

Ortocentro:  Punto donde se cortan las alturas.

Propiedades de los triángulos:

1.- La altura correspondiente a la base de un triangulo isósceles es también la mediana, mediatriz y bisectriz.

2.- En dos triángulos congruentes, a ángulos congruentes se oponen lados congruentes y viceversa. Estos lados y ángulos se llaman homólogos.

3.- Un lado es menor que la suma de los otros dos y mayor que su diferencia.

4.- A mayor lado se opone mayor ángulo.

5.- En dos triángulos  que tienen dos lados congruentes, y no congruente al ángulo comprendido,  mayor ángulo se opone mayor lado. 

TEOREMAS:

I.- La suma de los ángulos interiores de todo triángulos es igual a dos ángulos rectos, es decir 180° .

II.- La suma de los dos ángulos agudos de un  triángulo

rectángulo es igual a un ángulo recto. 

III.- La suma de los tres ángulos exteriores o externos de todo triángulo  es igual a cuatro ángulos rectos = 360°.

IV.- Un ángulo externo de un triangulo es igual a la suma de los dos ángulos  internos que no le son adyacentes.

CONGRUENCIA:

LOS TRIANGULOS SON CONGRUETNES CUANDO TIENEN IGUAL FORMA Y TAMAÑO. SUS ANGULOS Y  LADOS CORRESPONDIENTES SON IGUALES.

EL SIMBOLO  @  SE LEE     "CONGRUENTE".

CASOS DE CONGRUENCIA:   

1.- LAL @  LAL  (lado, ángulo, lado):   si un triángulo tiene  dos lados y el ángulo comprendido congruentes a los elementos correspondientes  de otro entonces los dos triángulos son  congruentes.

2.- ALA @  ALA  (ángulo, lado, ángulo):   dos triángulos con dos ángulos congruentes adyacentes  a un lado congruente, son congruentes. 

2.- LLL @  LLL  (lado, lado, lado): si dos triángulos tienen  sus tres lados respectivamente congruentes, entonces son congruentes.

RAZONES Y PROPORCIONES :

—La razón de un numero a otro es el cociente indicado del primero entre el segundo.

La razón de 3 a 5 es    3                  

                                    5

El numerador de la razón es el antecedente y el denominador es el consecuente:

En la razón  3

                     4

3  Es el antecedente y el 4 el consecuente.

La igualdad de dos razones  es una proporción: 

       

La proporción se escribe

a      c

      b  = d     ;

o  a : b = c : d, se lee:  a es b, como c es a d

Propiedades de las proporciones:

1.En toda proporción el producto de los medios es igual al producto de los extremos.       

●

2.Una proporción se puede transformar en otra invirtiendo los términos de cada razón.

●

3.En toda proporción un extremo cualquiera es igual al producto de los medios entre el extremo conocido.

●

4.En toda proporción un medio es igual al producto de los extremos entre el medio conocido.

●

5.La media proporcional, aplicando el principio 4, será igual a la raíz cuadrada del producto de los extremos.

Principios:

I.Si una recta es paralela  a uno de los lados  de un triangulo, entonces los otros dos lados quedan  divididos  en segmentos proporcionales.

II.Dos transversales cualesquiera cortadas por tres o mas paralelas quedan divididas en segmentos proporcionales.

III.La bisectriz  de un ángulo de un triángulo divide al lado en dos segmentos proporcionales a los lados adyacentes a ese ángulo .

SEMEJANZA:

Se denominan polígonos semejantes  los que tienen  sus ángulos correspondientes congruentes y sus lados homólogos proporcionales.

Los polígonos semejantes tienen la misma forma aunque no tengan el mismo tamaño.

Para indicar ser semejante  se utiliza el símbolo  ~

Razón de semejanza :

Es la razón de los dos lados homólogos.

Teorema básico de la proporcionalidad:

“toda recta paralela a uno de los lados de un triangulo, determina un triangulo  semejante al dado.”

Casos de semejanza:L 

Dos triángulos son semejantes

•si tienen dos ángulos respectivamente congruentes.

•si tienen dos lados proporcionales y congruente el ángulo comprendido.

•Si tienen sus tres lados proporcionales.