ejercicios (teorema de pitagoras)

Dados los valores siguientes  de los catetos, calcular la hipotenusa:

a	b	c
3	4	= Ö(3)² +  (4) ²  =  5
5	12	= Ö(5)² +  (12)² = 13
25	18	= Ö(25)² + (18)²  = 30.8
3.5	2.4	= Ö(3.5)²  + (2.4)²  = 4.243

 

Dados los valores de la hipotenusa

a	c	b
15	17	= Ö(15)²  - (17)²  = 8
40	41	= Ö(40)²  - (41)²  = 9
7	25	= Ö(7)²  - (25)²  = 24
20	29	= Ö(20)² - (29)²  = .21
17	26	= Ö(17)²  - (26)²  = 19.76
7.5	11.6	= Ö(7.5)²  - (11.6)²  = 8.84

Calcular la altura de un triángulo isósceles, si su base mide 60cm y cada uno de los lados iguales mide 50cm.

 Ö(50cm)²  + (60cm)²  = Ö2500cm + 3600cm = Ö6100cm = 78.102cm

Calcular la altura de un triángulo equilátero que mide 10 m por lado.

 Ö(10m)² - (5m)²  = Ö100m + 25m = Ö75m = 8.66m

Cuánto mide  el lado de un cuadrado cuya diagonal mide 8m.

 (c)²  = (a)²  + (b)²

(8m)² =  (a)²  + (b)²

64m  = a  +  b

                                                                          2        

Ö32 = 5.66m

Cuánto mide la diagonal de un cuadrado de 5m por lado.

 Ö(5m)² + (5m)²  = Ö25m + 25m = Ö50m = 7.07m

Cuánto  mide la diagonal de un rectángulo  de 28m de largo y 21m de ancho.

 Ö(28m)² + (12m)²  = Ö784m + 441m = Ö1225m = 35m

A qué altura llega una escalera de 10m de largo en un muro vertical si su pie esta a 3m del muro.

Ö(10m)² - (3m)²  = Ö100m - 9m = Ö91m = 9.53m

Si el lado de un hexágono  regular mide 16cm. ¿Cuánto mide su apotema?

Ö(16cm)² - (8cm)²  = Ö256cm - 64cm = Ö192cm = 13.856cm

Un terreno rectangular de 4000m de largo por  3000m de ancho tiene en medio una colina que no permite una medición directa. ¿Cuál es la longitud  de la diagonal?

 Ö(4 000m)² + (3 000m)²  = Ö16 000 000m + 9 000 000m = Ö25 000 000m = 5 000m

Para sostener la antena de una estación de radio de 72m de altura se desea poner tirantes de 120m para darle  mayor estabilidad; si se proyecta tender los tirantes desde la parte más alta de la torre.¿a que distancia del pie de esta deben construirse las bases?

Ö(120m)² - (72m)²  = Ö14 400m - 5 184m = Ö9 216m = 96m

Las tres bases a que se sujetan los cables que sirven para la estabilidad de la torre de una antena están situados a 36m del pie de la misma. Calcular la longitud de los cables si estos se fijan a la torre a 48m de altura.

Ö(48m)² - (36m)²  = Ö2 304m - 1 296m = Ö3 600m = 60m

De los problemas siguientes hallar la longitud del segmento x marcado en la figura correspondiente:

X²= (15)² + (8)²

X = Ö 225 + 64

X = Ö 289

X = 17

X²= (15)² - (9)²

X = Ö 225 - 81

X = Ö 144

X = 12

X²= (10)² - (6)²

X = Ö 100 - 36

X = Ö 64

X = 8

X²= (12)² + (5)²

X = Ö 144 + 25

X = Ö 169

X = 13

X²= (17)² + (8)²

X = Ö 289 + 64

X = Ö 353

X = 18.78

EL TRIANGULO

—Un triángulo es una superficie  plana trilateral:

     > Tres ángulos

    >  Tres lados

    > Tres vértices

Es el polígono con menos lados.

Para nombrarlo se usan tres letras en sus vértices o una cifra romana en su interior.

Se emplean letras minúsculas para designar los lados.

CLASIFICACIÓN DE LOS TRIÁNGULOS:

—SEGÚN SUS LADOS:

Triángulo escaleno: todos sus lados son desiguales.

Triángulo isósceles: tiene dos lados iguales y uno desigual.

Triángulo equilátero: tiene los tres lados iguales.

SEGÚN SUS ÁNGULOS:

Tiene un ángulo recto .

Triángulo rectángulo: El lado opuesto a este es la hipotenusa. Los lados perpendiculares reciben el nombre de  catetos.

Triángulo acutángulo: 

 tiene los tres ángulos agudos, menores de 90°.

Triángulo obtusángulo: 

tiene un ángulo obtuso, mayor de  90°.

"Los triángulos acutángulo y obtusángulo también son llamados oblicuángulos."

Rectas y puntos notables del triangulo.

Mediana: Segmento trazado desde un vértice hasta el punto medio del lado opuesto.

Baricentro: Centro de gravedad del triangulo donde se cortan  las medianas.

Mediatriz: Perpendicular trazada en el punto medio  del lado opuesto.  

Circuncentro: Punto de intersección  de las mediatrices.

Bisectriz: Recta que parte del vértice de un ángulo dividiendo a este en dos  exactamente iguales.

Incentro: Punto donde se  interceptan las bisectrices.  

Altura: Perpendicular trazada desde un vértice al lado apuesto o su prolongación. 

Ortocentro:  Punto donde se cortan las alturas.

Propiedades de los triángulos:

1.- La altura correspondiente a la base de un triangulo isósceles es también la mediana, mediatriz y bisectriz.

2.- En dos triángulos congruentes, a ángulos congruentes se oponen lados congruentes y viceversa. Estos lados y ángulos se llaman homólogos.

3.- Un lado es menor que la suma de los otros dos y mayor que su diferencia.

4.- A mayor lado se opone mayor ángulo.

5.- En dos triángulos  que tienen dos lados congruentes, y no congruente al ángulo comprendido,  mayor ángulo se opone mayor lado. 

TEOREMAS:

I.- La suma de los ángulos interiores de todo triángulos es igual a dos ángulos rectos, es decir 180° .

II.- La suma de los dos ángulos agudos de un  triángulo

rectángulo es igual a un ángulo recto. 

III.- La suma de los tres ángulos exteriores o externos de todo triángulo  es igual a cuatro ángulos rectos = 360°.

IV.- Un ángulo externo de un triangulo es igual a la suma de los dos ángulos  internos que no le son adyacentes.

CONGRUENCIA:

LOS TRIANGULOS SON CONGRUETNES CUANDO TIENEN IGUAL FORMA Y TAMAÑO. SUS ANGULOS Y  LADOS CORRESPONDIENTES SON IGUALES.

EL SIMBOLO  @  SE LEE     "CONGRUENTE".

CASOS DE CONGRUENCIA:   

1.- LAL @  LAL  (lado, ángulo, lado):   si un triángulo tiene  dos lados y el ángulo comprendido congruentes a los elementos correspondientes  de otro entonces los dos triángulos son  congruentes.

2.- ALA @  ALA  (ángulo, lado, ángulo):   dos triángulos con dos ángulos congruentes adyacentes  a un lado congruente, son congruentes. 

2.- LLL @  LLL  (lado, lado, lado): si dos triángulos tienen  sus tres lados respectivamente congruentes, entonces son congruentes.

RAZONES Y PROPORCIONES :

—La razón de un numero a otro es el cociente indicado del primero entre el segundo.

La razón de 3 a 5 es    3                  

                                    5

El numerador de la razón es el antecedente y el denominador es el consecuente:

En la razón  3

                     4

3  Es el antecedente y el 4 el consecuente.

La igualdad de dos razones  es una proporción: 

       

La proporción se escribe

a      c

      b  = d     ;

o  a : b = c : d, se lee:  a es b, como c es a d

Propiedades de las proporciones:

1.En toda proporción el producto de los medios es igual al producto de los extremos.       

●

2.Una proporción se puede transformar en otra invirtiendo los términos de cada razón.

●

3.En toda proporción un extremo cualquiera es igual al producto de los medios entre el extremo conocido.

●

4.En toda proporción un medio es igual al producto de los extremos entre el medio conocido.

●

5.La media proporcional, aplicando el principio 4, será igual a la raíz cuadrada del producto de los extremos.

Principios:

I.Si una recta es paralela  a uno de los lados  de un triangulo, entonces los otros dos lados quedan  divididos  en segmentos proporcionales.

II.Dos transversales cualesquiera cortadas por tres o mas paralelas quedan divididas en segmentos proporcionales.

III.La bisectriz  de un ángulo de un triángulo divide al lado en dos segmentos proporcionales a los lados adyacentes a ese ángulo .

SEMEJANZA:

Se denominan polígonos semejantes  los que tienen  sus ángulos correspondientes congruentes y sus lados homólogos proporcionales.

Los polígonos semejantes tienen la misma forma aunque no tengan el mismo tamaño.

Para indicar ser semejante  se utiliza el símbolo  ~

Razón de semejanza :

Es la razón de los dos lados homólogos.

Teorema básico de la proporcionalidad:

“toda recta paralela a uno de los lados de un triangulo, determina un triangulo  semejante al dado.”

Casos de semejanza:L 

Dos triángulos son semejantes

•si tienen dos ángulos respectivamente congruentes.

•si tienen dos lados proporcionales y congruente el ángulo comprendido.

•Si tienen sus tres lados proporcionales.

EL APORTE DE LOS OBSTACULOS EPISTEMOLOGICOS

EL APORTE DE LOS OBSTACULOS EPISTEMOLOGICOS

En el estudio que se realizo dentro de algunas instituciones tienen como propósito el saber cuáles son los obstáculos que impiden que los alumnos logren un aprendizaje significativo, es decir, que lo puedan utilizar y aplicar en el momento adecuado. Para ello es muy importante que desde el momento en el que se encuentre el obstáculo este sea analizado para conocer las causas que lo origina para poder buscar metodologías que sean eficaces para darle solución a este problema y lograr que los alumnos obtengan aprendizajes significativos.

En un grupo de alumnos podemos encontrar a personas quizá de las mismas edades pero con características diferentes uno de otros, lo que los hace únicos, también podemos ver que cada persona tiene una manera especial de aprender las cosas. Los alumnos construyen sus ideas y conocimientos a partir de sus experiencias, de la manera de ver la vida que tienen, del medio ambiente en el que se encuentran y desde su propia lógica. Es muy importante conocer los conocimientos previos con los que cuenta cada alumno para partir desde ese punto a un aprendizaje significativo y no memorístico, pues en tiempos anteriores si un alumno daba una explicación de un tema y este no coincidía con la del profesor era considerado erróneo, error del alumno. Se tienen que considerar las concepciones alternativas que son los elementos personales que modifican la forma de ver las cosas en cada ser humano.

Los obstáculos epistemológicos son las formas de pensar en tiempos atrás de la realidad que en su momento tuvieron una gran importancia y utilidad pero que con el paso del tiempo esto ya no es útil puesto que se han ido generando nuevas alternativas. Los obstáculos se pueden considerar desde varias perspectivas:

Obstáculos del que aprende:

§      Relacionados directamente con la percepción: consecuencias directas de lo que perciben los sentidos.

§      Relacionados indirectamente con la percepción: se interrelacionan otros elementos con las sensaciones.

§      Obstáculos laguna: se originan por la falta de conocimiento.

§      Correspondientes a diferentes formas de razonamiento: corresponden a otras áreas, es transdisciplinar.

Obstáculos para el que enseña:

El profesor evalúa y explica desde su propia lógica dejando a un lado la del alumno. Esto debería ser completamente contraria la enseñanza debe basarse de la comprensión de los razonamientos de los alumnos. El profesor deberá orientar los conocimientos de los alumnos con actividades que propicien un conocimiento que sea significativo por lo que es necesario renovar la manera en la que el profesor plantea sus clases. Y dar otro enfoque a lo que es el significado de enseñar y dar un lugar importante al error dentro de la enseñanza.

La intervención de la didáctica a partir de los conocimientos de los obstáculos:

La didáctica de las ciencias en buscar las estrategias y técnicas adecuadas para cada grupo en el que se trabaja, tomando en cuenta las características especiales del grupo. Los modelos de enseñanza están basados en que los alumnos son los que deben construir los conocimientos por medio de la interacción con las demás personas y de su entorno.

Aprender es superar los obstáculos y esto se convierte en los objetivos de la enseñanza, esto es transformarlos en elementos que son de ayuda para conseguir una buena enseñanza.

El resultado de la investigación que se realizó tuvo como efecto que los obstáculos que se presentaron en cuanto a los problemas planteados fueron diversos, algunos alumnos solo conocían los elementos en forma práctica y no teórica o viceversa, que los conceptos que tenían eran confusos  unos con otros, que solo habían aprendido a resolver cierto tipo de problemas o que estaban acostumbrados que todos los datos que contenían los ejercicios debían ser utilizados, entre otros. Cada uno de estos obstáculos se presento en medios y situaciones diferentes.

Vergnaud menciona lo siguiente: “un concepto no adquiere su plena significación en un solo tipo de situaciones y una situación no puede analizarse con un solo concepto”.

ANALISIS EPSITEMOLOGICO Y DIDACTICO DE NOCIONES. PROCESOS Y SIGNIFICADOS DE OBJETOS ANALITICOS.

ANALISIS EPSITEMOLOGICO Y DIDACTICO DE NOCIONES. PROCESOS Y SIGNIFICADOS DE OBJETOS ANALITICOS.

El objetivo principal es la determinación de nociones, significados y procesos de objetos propios del Análisis Matemático dirigidos hacia la enseñanza.

Esto objetivos son estructurados en tres bloques:

      Los modelos matemáticos: que es y cómo se clasifican;

a)    Por su función: uso efectivo que establece un sujeto por intermedio de unos conocimientos

b)    Por su génesis: según el tipo de sistema modelizado puede ser sistemas abierto y colapsado.

      La teoría didáctica: que quiere decir que es que una persona comprende, sabe o conoce el significado de un objeto matemático.

La didáctica de las matemáticas es una ciencia    autónoma  y so objeto de estudio es la comunicación y construcción de objetos matemáticos.

La emergencia de la Didáctica de las Matemáticas como un campo del saber autónomo propones soluciones a problemas de enseñanza y aprendizaje en tiempos atrás no habían sido  contemplados por la psicología cognitivo ni por la pedagogía. Por lo que por el momento se encuentra a una ciencia necesitada de muchas cosas para estar completa y sea integradora.

El programa epistemológico en DM modeliza el saber matemático a enseñar. 

      Didáctica del análisis: determinar procesos analíticos y determinar reglas. En este bloque se pretende que el estudio sea algo lineal, es decir q el estudio de una asignatura dirija al de otra y así sucesivamente. Aquí se asocian dos fenómenos:

1.    La linealidad: esto dice que la aritmética precede al algebra y esta al análisis; el aprendizaje de cada una establece condiciones para  la siguiente.

ARITMETICA            ALGEBRA               ANALISIS

2.    El reduccionismo: el algebra es comprendida como una aritmética generalizada, y el análisis como un algebra de funciones.

ARITMETICA               ALGEBRA                     ANALISIS

APORTACIONES TEORICAS  Y EMPIRICAS MÁS DESTACADAS

Las matemáticas como objeto de estudio

Aritmética, algebra y análisis: aquí se establecen dos puntos clave

ü  El paso de la aritmética al algebra: aquí se dan las primeras manipulaciones simbólico-literales de objetos ostensivos, que hace evolucionar el pensamiento hacia lo experimental, interpretaciones formales.

ü  Del algebra al análisis: la noción del límite determina este paso está en la necesidad de abordar problemas bien formulados y que contrasten  soluciones parciales obtenidas.

El problema del significado en matemáticas:

El significado de los objetos matemáticos, condicionados institucional, personal y temporalmente, muestran la necesidad de construir una semiótica que permita la interpretación y descripción de los sistemas de signos utilizados. Este  es uno de los grandes objetivos de la didáctica.

 Uso de las nuevas tecnologías:

La motivación didáctica es una necesidad cultural y social de integrar de manera eficaz las nuevas tecnologías en la educación, estas pueden reducir en tiempo el tiempo en la enseñanza, pero también por si solas no van a solucionar los problemas de la enseñanza y pueden crear otros.

INGENIERIA DIDACTICA

La última de las intenciones es encontrar los medios óptimos para la enseñanza y el aprendizaje de las nociones, procesos y significados de los objetos del Análisis de las Matemáticas.

Las fases de esta metodología son:

1)    Análisis preliminares

2)    La concepción y el análisis antes

3)    Experimentación, análisis  posterior y validación

La ingeniería didáctica puede comprenderse porque representa un medio de producción de materiales para la enseñanza.

ANALISIS DE  PROTOCOLOS

La relación entre los saberes y las acciones de un sujeto han conducido a introducir 4 operaciones fundamentales de producción de un conocimiento:

Algorítmica

Significante

 I de interpretación

F de formalización

La actividad de un sujeto en producción matemática es descrita como consecuencia de operaciones de producción. De aquí hemos distinguido algunos aspectos a la producción de objetos matemáticos:

Proceso potencial, proceso observado y descrito, proceso general.